对数换底公式的表达
对数的换底法则，或者称为换底公式表达为:
\[ \log_{a}b = \frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}} (c \neq 0,1) \]
此公式中， c的取值是无关的，无论c取何值，它总是成立。
换底法则的证明过程
换底法则先变形一下：
设
\[ \begin{eqnarray*} \log_{x}{y} &= m \tag{1} \\ \log_{c}{y} &= n \tag{2} \\ \log_{c}{x} &= p \tag{3} \\ \end{eqnarray*} \]
由式(1)得出
\[ y = x^m \tag{4} \]
由式(2)得出
\[ y = c^n \tag{5} \]
由式(3)得出
\[ x = c^p \tag{6} \]
联合式(4)式(5)得到
\[ x^m = c^n \tag{7} \]
将式(6)代入式(7)得到
\[ \begin{eqnarray*} (c^p)^m &= c^n \\ \rightarrow c^{pm} &= c^n \\ \rightarrow pm &= n \tag{8} \end{eqnarray*} \]
将式(1)(2)(3) 结果带入(8)
\[ \log_{c}{x} \cdot \log_{x}{y} = \log_{c}{y} \rightarrow \log_{x}{y} = \frac{\log_{c}{y}}{\log_{c}{x}} \tag{9} \]
上式在 \(c \notin \{ 0, 1\}\) 时成立。
综上，换底法则得证。
这里写个拓展。对于对数函数 \(f(x) = \log_{a}x\) 和函数 \(g(x) = \log_{b}x\) 存在常数 \(k\) 使得 \(f(x) = k \cdot g(x)\) 。通俗点说，就是， 一个对数函数的图像，将它在y轴方向上拉伸或者压缩，它可以与任意的对数图像重合。利用换底公式可以很容易的证得。