一元二次方程求根公式推导

最近在阅读微积分相关的一个题目时，需要求解一个一元二次方程组，大概是上了年纪和许久不求解一元二次方程，竟然一时想不起求根公式，所以决定推导一遍，记录以加深印象。

一元二次函数

说到一元二次方程先回顾一下一元二次函数。

\[ f(x) = ax^2 + bx + c (a \neq 0) \]

其中 a, b, c 分别为其二次项系数，一次项系数和常数项。

而一元二次方程就是函数值为0的情况。

推导

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

将自变量项提公因式a:

\[ a(x^2+ \frac{b}{a}x) = -c \]

移项，并使用平方和公式构造自变量平方项:

\[ \begin{aligned} &x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \\ &\rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ &\rightarrow x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \pm \frac {\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &\rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned} \]

整个变换过程中，因为a不为0，且只有a会出现在分母中，所以这里是没问题的。关键是 $b^2-4ac$ 出现在开平方操作中，我们知道，在实数中，负数是没有平方根的，所以，一元二次方程有实根的条件是 $b^2-4ac $, 且当 $b^2-4ac = 0 $ 时，方程存在唯一解。