求导法则
复杂函数的求导, 可以看做是对几个简单函数(暂且称为子函数)的复合函数的求导。一般可以分以下几个情况。
常数项系数
函数的常数项系数的复合方式是最简单的, 它的形式一般如:
\[ f(x) = c \cdot h(x) \]
其中, \(c\) 是常数, \(h(x)\) 是任意关于 \(x\) 的函数, 则 \(f(x)\) 的求导规则为:
\[ f'(x) = c \cdot h'(x) \]
就是简单的对 \(h(x)\) 求导数, 然后乘以常数 \(c\)
子函数的和/差
若一个函数, 它可以被表述为多个子函数的和或者差的形式, 这里只以和的形式距离(差可以认为其中一个子函数乘以-1就好了), 形如:
\[ f(x) = h(x) + g(x) \]
此类函数的导数, 可以对其子函数分别求导, 然后再相加:
\[ f'(x) = h'(x) + g'(x) \]
多项乘积
两项的情况
若一个函数, 他可以被表述为两个子函数的乘积的形式, 形如:
\[ f(x) = h(x) \cdot g(x) \]
则, 它的导数为:
\[ f'(x) = h'(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x) \]
记忆方式为 将两个子函数相乘, 加两次, 然后分别依次在各项的对应函数上加一个撇号
三项的情况
三项乘积的形式形如:
\[ f(x) = h(x) \cdot g(x) \cdot k(x) \]
其求导规则为
\[ f'(x) = h'(x) \cdot g(x) \cdot k(x) + h(x) \cdot g'(x) \cdot k(x) + h(x) \cdot g(x) \cdot k'(x) \]
记忆方式为 将三个子函数相乘, 加三次, 然后分别依次在各项的对应函数上加一个撇号
实际上, 多个函数的相乘, 都可以分解为两个项的相乘, 然后使用两项求导公式求导, 然后对每个子项递归下去。
推导一下:
\[ f(x) = h(x) \cdot g(x) \cdot k(x) \]
设 \[u(x) = h(x) \cdot g(x)\]
则 \[f(x) = u(x) \cdot k(x)\]
那么,根据两项相乘的求导公式:
\[ \begin{eqnarray} f'(x) = u'(x) \cdot k(x) + u(x) \cdot k'(x) \tag{1} \\ u'(x) = h'(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x) \tag{2} \end{eqnarray} \]
将(2)带入(1)得:
\[ f'(x) = (h'(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x)) \cdot k(x) + h(x) \cdot g(x) \cdot k'(x) \]
将上式乘开:
\[ f'(x) = h'(x) \cdot g(x) \cdot k(x) + h(x) \cdot g'(x) \cdot k(x) +h(x) \cdot g(x) \cdot k'(x) \]
即得到三项乘积的导数公式。
商式
若一个函数, 可以写作两个子函数商的形式, 形如:
\[ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \]
它的导数公式为:
\[ f'(x) = \frac{g'(x)\cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^2} \]
记忆方式: 按照两项乘积的公式, 对后项取负号, 然后除以商函数的平方
实际上, 商公式可以简单的由乘积公式推导而来。
推导:
\[ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \]
我们假设有函数
\[ k(x) = h(x)^{-1} \tag{2.1} \]
则:
\[ \begin{eqnarray} f(x) &= g(x) \cdot k(x) \tag{2.2} \\ f'(x) &= g'(x) \cdot k(x) + g(x) \cdot k'(x) \tag{2.3} \end{eqnarray} \]
这里要提前引入一下链式函数的求导法则:
\[ k'(x) = -1 \cdot h(x)^{-2} \dot h'(x) \tag{2.4} \]
然后, 将 \((2.1) (2.4)\) 代入 \((2.3)\) 得到
\[ f'(x) = g'(x)\cdot h(x)^{-1} - g(x) \cdot h(x)^{-2} \cdot h'(x) \]
对上式提公因式
\[ \begin{eqnarray} f'(x) &= (g'(x) \cdot h(x) - g(x)\cdot h'(x)) \cdot h(x)^{-2} \notag \\ f'(x) &= \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{h(x)^{2}} \notag \end{eqnarray} \]
至此, 由乘法求导公式推导得到商式的求导公式。
链式函数
若一个函数由几层函数复合而成, 形如:
\[ f(x) = g(h(x)) \]
这里需要注意一下, 所谓的 "链式" 隐含一层自变量替换的概念, 它是指, 其中一个子函数作为另一个函数的 "自变量", 而非原生的自变量 \(x\) 。
那么, 链式求导法则为:
\[ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
上式正确, 但是稍显凌乱, 我重新表达一下
\[ 设变量 z = h(x) \]
\[ f'(x) = g'(z) \cdot h'(x) \]
用偏自然语言描述就是: 把作为自变量的函数看做一个整体, 对外层函数求导, 然后将结果乘以内层函数关于原生自变量$x$的导数。
更深层一点的是多层链式函数, 即可能一层复合函数无法精简的表达整个函数, 需要将关于
$x$的函数复合多次, 这种情况下可以一层层套用两层链式法则。(每层展开乘以下层关于自己的自变量的导数即可)