常见变换
先约定一下，本文中使用的向量都是列向量，相应的公式也都是基于此前提。
线性变换
如果变换F保持了基本运算，加法和数乘，那么就可以称该变换是线性的。
数学上，要求线性变换满足这样的性质：
\[ \begin{eqnarray} F(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) &=& F(\boldsymbol{a}) + F(\boldsymbol{b}) \tag{1} \\ F(k\boldsymbol{a}) &=& kF(\boldsymbol{a}) \tag{2} \end{eqnarray} \]
需要注意的是，这里的函数自变量 \(\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}\) 都是向量，公式中已经使用粗体表达， 再次强调一下。在自变量为标量时，公式2 可以由公式1推导得出，但是对于向量， 我们只能单独列出公式2，使变换满足。
仿射变换
仿射变换是线性变换后接着平移。所以，线性变换是一类特殊的仿射变换，它的平移量为 \(\boldsymbol{0}\) 。 换一句更加专业一点的表达方式。仿射变换是线性变换的超集，任何线性变换都是仿射变换。
\[ \boldsymbol{v}' = \boldsymbol{Mv} + \boldsymbol{b} \]
其更正式一点的表达, 所有满足公式3的变换都是仿射变换，其中 \(\boldsymbol{b}\) 可以为0向量。
可逆变换
如果一个变换 \(F\) 可以被另一个变换 \(F^{-1}\) 所"撤销"，那么，这个变换叫做可逆变换。一个重要的事实是，所有的仿射变换，除了“投影”，其他所有形式的仿射变换都是可逆的。当然，也存在一些可逆的非仿射变换，这里先不做讨论。
等角变换
如果变换前后各向量之间的夹角不发生变化（包括大小和方向）那么，该变换即成为等角变换。 仅有平移，旋转，均匀缩放是等角变换，而镜像非等角变换，因为镜像变换会更改角方向。
按照这里的说法，其实“方向”一词的出现是不严谨的，因为我们往往在空间中定义角度时会预先约定角方向，其方向信息可以使用角打小的符号来表示。
正交变换
正交变换是坐标轴保持垂直，且不进行缩放的变换。
平移，旋转，镜像变换是仅有的正交变换。
刚体变换
只改变物体位置和方向的变换是刚体变换。它不改变物体任何的自由属性（面积，体积，形状 等）。 刚体变换是正交变换和等角变换的交集。 同时，刚体变换本身具有可逆的性质（非投影均可逆）， 所以它也是可逆的变换。实际上，刚体变换是本文以上所有变换的“交集”。